Bulle Immobilière

Anatomie d'un prêt immobilier
Analyse d'une mensualité de remboursement - Tableau d'amortissement et capital restant dû - Coût du crédit

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Cette file démystifie le calcul de mensualité en exposant la réalité mathématique à laquelle répond le remboursement d'un emprunt. Nous aurons tout loisir d'étudier le comportement de cette mensualité en faisant varier les paramètres de l'équation. En couvrant un large spectre, nous aurons alors une vision étendue de ce comportement.

Fichier source en téléchargement ici : http://www.bulle-immobiliere.org/contri ... ensuel.xls

Calcul d'une annuité de remboursement d'un emprunt de 1€ pendant n années, au taux i

Le calcul de l'annuité est donné par la formule suivante:


Figure 1 - équation du montant d'une échéance

où:
i est le taux d'emprunt (0,04 pour un emprunt à 4%)
n est la durée d'emprunt exprimée en années.
a est l'annuité de remboursement résultant de l'équation. Il s'agit du montant à rembourser chaque année pour l'emprunt de 1€ aux conditions de taux et de durée définies.

Mais pour un prêt immobilier, il faut manipuler des mensualités.


Calcul de la mensualité

La mensualité se déduit du calcul de l'annuité:


Figure 2 - équation du montant d'une mensualité

m est le montant de la mensualité et mt est le montant de l'emprunt

Cette équation permet de déterminer le comportement de la mensualité dans toute la variété du domaine et d'étudier l'impact de variations de ses paramètres : taux et durée de remboursement.

L'équation permet de construire la table de mensualité pour des valeurs communes de taux et de durées. L'étude porte sur une période comprise entre 10 et 100 ans. L'échelle chronologique de certains graphiques s'interrompt à 50 ans par souci de clarté. Néanmoins, j'expliquerai comment se comporte la courbe dans la zone 50 - 100 ans non représentée bien que ce comportement se déduise intuitivement de l'allure générale de la courbe considérée.

Un peu plus loin vous trouverez la table de mensualité pour les valeurs les plus courantes utilisées dans le cadre de cette étude.

Note: veiller à conserver un nombre significatif de chiffres décimaux sans quoi les calculs réalisés par la suite seront fortement erronés.

Table de mensualité

Cette table est le résultat du calcul des mensualités pour des taux usuels et une durée répartie entre 10 et 100 ans. Les durées inférieures à 10 ans ne sont pas considérées parce qu'on se place dans la problématique immobilière et que des prêts aussi courts sont rares.


Figure 3 - table de mensualité

Note de lecture: pour connaître le montant de la mensualité sur 1€, lire la valeur au croisement d'un colonne de taux et d'une ligne de durée de remboursement. La mensualité permet une étude comportementale et de déduire le montant de la mensualité de remboursement.

Représentation graphique de la table de mensualité


Figure 4 - graphique de mensualité

Les durées inférieures à 10 ans, si elles étaient représentées, comprimeraient la zone utile du graphe. Voilà pourquoi elles ne sont pas montrées ici.

Comportement à la variation du taux i

Ce graphique montre comment la hausse des taux modifie sensiblement le montant de l'emprunt. L'impact du taux croît avec la durée. Ainsi, pour une durée de 50 ans, l'augmentation du taux de 3 à 6% conduit à multiplier la mensualité par 1,63 (soit +63%) contre seulement 1,297 (+ 30 %) pour une durée de 20 ans.

Le taux détermine l'origine et la pente de la courbe de mensualité dans la partie non asymptotique.

Comme le montre le graphique suivant, poursuite du graphique jusqu'à 100 ans, la courbe se prolonge en asymptote dans les durées croissantes. L'asymptôte intervient plus tôt à mesure que le taux d'intérêt s'élève.


Figure 5 - mensualité série longue

Cette représentation n'est pas adaptée pour comparer les gains conférés par le changement de la durée. C'est l'objet du paragraphe suivant.

Comportement à la variation de la durée n

Ce graphique montre, pour chaque taux considéré, le gain que procure l'allongement de la durée sur la mensualité. La mensualité réduite du gain occasionné est égale à m' = m * (1 - g), g étant le gain en % tel que donné dans la figure ci-après. La durée de référence, pour laquelle le gain est nul, est fixée arbitrairement à 10 ans.

Les gains relatifs entre deux durées spécifiques sont donnés dans des graphiques ultérieurs pour un taux à 3% et à 6%.


Figure 6 - gain sur la mensualité lié à l'allongement de la durée

Avantage comparatif (taux à 3%)

Ce graphique permet de comparer deux mensualités de durées différentes à taux identique de 3%:


Figure 7 - gain sur une mensualité à taux fixe de 3%

Exemple de lecture: la mensualité d'un prêt à 3% sur 50 ans est égale au tiers de la mensualité d'un prêt à 3% sur 10 ans. Ou inversement : la mensualité d'un prêt de 3% à 10 ans est égale à 3 fois celle d'un prêt de 3% à 50 ans.

Qu'en est il si on augmente le taux?

Avantage comparatif (taux à 6%)

Ce graphique est construit sur la base du précédent mais avec un taux à 6% cette fois.


Figure 8 - gain sur une mensualité à taux fixe de 6%

Attention : les échelles des ordonnées sont différentes. Les courbes d'un taux à 3% et à 6% ne sont similaires qu'en apparence.

On remarque à nouveau que l'augmentation du taux estompe le gain procuré par l'allongement du prêt. C'est une autre façon de considérer l'asymptôte du premier graphique.

Joli travail!

Ou l'on voit que passer de 30 à 40 ans (voire 50 ) n'apporte pas grand chose de plus sur la capacité d'emprunt, à plus forte raison si les taux augmentent.

Oui mais il ne s'agit ici que d'une étude des paramètres de la fonction de calcul d'annuité. Il ne s'agit pas de quantifier un quelconque intérêt ou désintérêt de telle ou telle configuration ou de sa réalité dans un contexte économique.


Non. Il y a confusion : les courbes ici présentes permettent de prévoir la situation au démarrage du prêt. On ne s'intéresse pas ici à l'évolution de cette mensualité au fil du temps. De plus, appliquer l'inflation sur les mensualités ne change rien à leur valeur comparative (exprimée en %), les multiplications étant distribuées de façon égale.


Heu si tu veux mais je ne vois pas exactement ce que tu veux construire à partir de ces graphiques. Peut être l'évolution de ses mensualités dans le temps en ajoutant une variable supplémentaire : le temps ?

capacité d'emprunt à 30 ans à 4%:
c = mt * 0,057830099 * 30

capacité d'emprunt à 40 ans à 4% en portant la mensualité à celle du prêt à 30 ans à 4%:
c' = 0,057830099 / 0,050523489 * c = 1,145 c

=> Un gain de capacité d'emprunt de 14,5% pour 10 ans de plus soit encore un durée de +33%.

Bien entendu c'est la meilleure espérance car il est inconcevable que les taux à 30 et à 40 ans soient identiques.

Bravo, c'est du grand art !

Ben dit donc ! Et en plus un samedi ! Je lève mon verre.

Reco

ha ben non, on peut pas

Je précise, même si ça va de soit, que le gain en mensualité est équivalent au gain en capital si on normalise la mensualité.

D'où le calcul en réponse à Plop (dans l'hypothèse fausse d'un taux constant quelque soit la durée considérée).

t'es vachment fort en maths, ça m'impressionne toujours de constater qu'il y a des gens qui manient toutes ces formules auxquelles je ne comprends rien, c'est sûr ce ne sont pas les chiffres qui m'ont aidé à avoir le bac ...

Erhh... non. Mais maintenant ça m'intéresse plus qu'à l'age des études et ça change probablement la donne.

C'est très joli tes courbes Slash et cela nous explique que d'ouvrir des prêts à 50 berges cela ne "resolvalise" guère les troupes de primo.

Sutout que la réalité est pire que ce que tu laisses entrevoir dans ton travail. En effet aucune banque ne pratique les même taux (en TAUX FIXE) sur 10, 15, 20, 25 ou 30 ans!

Donc ton étude vaut pour les taux variables.

Pour le taux fixe, je rajoute l'effet "durées plus longue"= " taux plus élevé"

bref i est une fonction croissante de n

Avec par exemple i(n)=3,3%+n*0,04% (taux de 3,7% sur 10 ans, 3,9% sur 15 ans, 4,1% sur 20 ans ; 4,3% sur 25 ans, 4,5% sur 30 ans,....)

On obtient le graphique suivant:



ANNUITES DE REMBOURSEMENT D'UN EMPRUNT DE 1€ AU TAUX I, fonction affine de la durée n années -- I(n)=3,3%+0,04%*n, EN FONCTION DE LA DUREE EN ANNEES




Et ce graphique correspondant à la réalité des taux fixes nous montre bien qu'à taux fixe... le prêt sur 50 ans ne "resolvabilise" pas du tout l'acquéreur. Avec mes hypothèses, pour le même montant emprunté, on rembourse PLUS par mois sur 50 ans que sur 42 ans!!!!

Par exemple pour 200 000€ emprunté sur 42 ans: 11 446€ à rembourser par an et sur 50 ans: 11 467€. Résultat paradoxal !

C'est d'ailleurs pourquoi personne ne propose du 50 ans à taux fixe qui n'a aucun interet!

Quant à prendre du 50 ans à taux variable, il faut avoir la Foi, pour pas grand chose comme tu l'as prouvé.

Mon étude n'est qu'une analyse de la fonction de calcul de la mensualité. Effectivement, comme je l'indiquais, comparer des durées différentes à taux identique n'a pas de réalité dans le domaine bancaire.

Merci de m'avoir emboîté le pas avec l'étude "dans le monde réel" qui nécessite de définir une loi de revalorisation du taux d'intérêt sur la durée.

Tu as pensé à pousser ton calcul jusqu'à 100 ans (ta courbe semble avoir amorcé une reprise à 50 ans) ?

Sinon j'essaie d'obtenir la valeur de l'asymptote dans les n -> infini. Vais chercher à moins que quelqu'un ne connaisse la réponse.

Edit :

(x) ^ -n quand n -> infini = 0

=> Ce qui fait que a vaut i quand n -> infini.

(d'ailleurs ça se voyait sur la figure à 100 ans - comme le nez au milieu de la figure si j'ose dire)

Ah j'allais oublier, le taux d'intérêt à saisir dans la formule doit aussi comprendre le taux d'assurance. Ce qui fait que les valeurs de Youp12 me semblent un chouilla pas assez élevées (quoique)

Yep! Mais c'est marrant de voir que dans les conditions actuelles de calcul d'un prêt, ce modèle possède une limite propre dont nous ne sommes vraiment pas loin. La question est : les banques sont-elles capables de changer le modèle, en ont-elles le pouvoir et par quoi le replaceraient-elles?

En suivant mon modèle, celui qui peut rembourser 12000€/an (hors assurance) peut emprunter à taux fixe:


98 800 euros sur 10 ans

ou

134 400 euros sur 15 ans

ou

161 600 euro sur 20 ans

ou

181 700 euro sur 25 ans


ou


195 500 euro sur 30 ans


ou


204 200 euro sur 35 ans


ou

208 800 euro sur 40 ans


ou


210 100 euro sur 45 ans


ou


209 300 auro sur 50 ans



Vive la RESOLVABILISATION ( mort de rire) qu'apporte les prêts sur 50 ans: on peut emprunter 5000 euro que sur 35 ans de plus et avoir le plaisir de rembourser son prêt 15 ans de plus!

Le prêt sur 50 ans va sauver la Bulle, ça c'est sûr

Je me dis que ça fait 2 ans que j'aurai du produire ce document (à la portée de tous ici je n'en doute pas) pour montrer que les prêts à + de 30 ans sont une ineptie.

C'est vrai que ça va de soi pour certain d'entre nous, mais qu'il vaut miux le rappeller —d'autant que les AI ne se gènes pas pour essayer d'embrouiller les gens (voir reportage d'eazy)— Merci Slash!

bravo pour le beau travail

le graphe:
annuite100ansrx2.png

est resté sous forme de vignette, il est donc peu lisible

attention, les calculs sont en partie faux: c'est valable pour les emprunts à base d'annuité

pas pour ceux calculés directement en mensualités (c'est à dire ceux où le nombre d'échéances est le nombre de mois)

[que le lecteur se rassure, l'analyse qu'il lit actuellement prend en considération la remarque formulée par cracouc]

si les taux comprennent l'assurance, comment tenir compte d'un assurance qui est un pourcentage du capital restant à rembourser ?

en effet, dans les assurances on retrouve deux cas :

- pourcentage de la somme empruntée
- pourcentage de la somme restant à rembourser.

dans le premier cas le taux est souvent un peu plus faible que dans le second cas.

intégré à un prêt à 50 ans, l'assurance ne doit pas être négligeable dans le second cas, par rapport au premier ?

Ils ont été fait par annuité, mais les faire par mensualité n'aurait pas changé pas grand chose....

Je prends. Tu peux m'expliquer? J'obtiendrai un résultat différent si n était les mensualités? La deuxième équation est donc fausse c'est ça?

Je corrige si c'est le cas...

(à défaut, je ferai l'essai ce soir)

A suivre donc.

Possible. Je n'ai pas creusé cette question.

Dans un premier temps on peut considérer les mensualités pures sans assurance (après avoir pris en considération la remarque de cracouc)

Quelqu'un sait qui a inventé cette formule ? de quand date-t-elle ? qu'est-ce qui a justifié cette formule plutot qu'une autre ? pourquoi on rembourse d'abord + d'interets et ensuite le capital ?


Je trouve ca rigolo que cette formule soit utilisée depuis des lustres sans qu'elle n'aie jamais été remise en cause ou adaptée autrement (ex: remboursement de capital linéaire)

Bye ce qui est bien avec toi c'est que tu ne changes pas. T'es grave tu sais...

Slash il y a à mon avis une imprécision dans ton calcul c'est que tu calcules une annuité que tu divises par 12 pour trouver la mensualité, or les calculs financiers cela ne fonctionne pas tout à fait comme cela...

En effet on ne paye pas d'intérêt le mois n+1 sur la partie de capital soldée en n

la formule de la mensualité est (cela dépend de la méthode prise pour calculer l'équivalent mensuel du taux annuel) la suivante :

m = (i/12) / 1 – (1+(i/12)) puissance (-n*12)

Sur 20 ans et au taux de 5 %
1 Euro emprunté au lieu de 0.080242587 revient à une annuité de 0,0791946887

Quelle est la somme fixe m que je dois payer chaque mois pendant n mois pour "rembourser" une somme M
empruntée à l'origine?

i est le taux d'intérêt mensuel (ex: taux mensuel 0.3% --> i=1.003)

Imaginons deux comptes bancaires A et B

Sur A est déposée la somme M à l'origine (t=0, unité en mois)
Sur B sont déposées chaque mois les mensualités de remboursement

On a équivalence de la somme empruntée (A) et des sommes remboursées (B), si au jour du dernier versement, la somme de tous les versements avec fructification (la premiere mensualité a fructifié pendant n-1 mois, la seconde pendant n-2 mois, ... tandis que la dernière n'a pas fructifié du tout) est égale à la somme totale empruntée à l'origine qui a fructifié pendant n mois. Ce qui donne

Mi(n) = mi(n-1) + mi(n-2) +...+ mi + m = m*[i(n-1) + i(n-2) + ...+ i + 1] = m [i(n)-1]/[i-1]

d'où m = Mi(n)[i-1]/[i(n)-1]


i(n) = i puissance n

Ca découle logiquement de la notion d'intérêt.

Exemple :

Tu empruntes 100 000 euros à 6%
On calcule un taux mensuel : 6 / 12 = 0.5%

* Le premier mois, tu dois donc 100 000 x 0.5% = 500 euros d'intérêts.
Si ta mensualité est de 1000 euros, elle comprend donc le premier mois 500 euros d'intérêts et 500 euros de remboursement de capital.

Bilan : reste après un mois 99 500 euros à rembourser.

* Le deuxième mois, tu dois 0.5% d'intérêts sur la somme restante, soit 99 500 x 0.5% = 497.50 euros.
Ton remboursement de capital (toujours pour 1000 euros de mensualité) s'élève donc à 502.50 euros pour ce troisième mois.

Bilan : reste après deux mois 98 997.50 euros à rembourser.

* Le troisième mois, tu dois 0.5% d'intérêts sur la somme restante, soit 98 997.50 x 0.5% = 494.99 euros.
Ton remboursement de capital (toujours pour 1000 euros de mensualité) s'élève donc à 505.01 euros pour ce deuxième mois.

Bilan : reste après trois mois 98 492.49 euros à rembourser.

* Le quatrième mois, tu dois 0.5% d'intérêts sur la somme restante, soit 98 492.49 x 0.5% = 492.46 euros.
Ton remboursement de capital (toujours pour 1000 euros de mensualité) s'élève donc à 507.54 euros pour ce quatrième mois.

Bilan : reste après quatre mois 97 984.95 euros à rembourser.

Et ainsi de suite jusqu'à ce qu'il ne reste plus de capital à rembourser.

J'espère que ça répond à ta question.

-- Olivier

Avec des mensualités au lieux des annuités (remboursement 1000€/mois au lieu de 12000€/an) on trouve:
10 ans:100 500
15 ans: 136 800
20 ans: 164 700
25 ans: 185 200
30 ans 199 500
35 ans 208 500
40 ans 213 400
45 ans:215 100
50 ans 214 300.

Ce qui ne change rien à la conclusion

Le deuxieme cas est le plus facile: l'assurance s'assimile a un surcroit d'interets, tu ajoutes le taux de l'assurance au taux de l'emprunt.

Pour le premier cas la prime d'assurance est fixe, et se calcule par simple multiplication, il faut ensuite l'ajouter a l'annuité.

Normalement le taux d'assurance, quel que soit le mode de calcul, doit changer suivant la durée du prêt, et l'age des emprunteurs, car ca change le risque, et la encore ca ne plaide guère pour les prets a 100 ans (sur cette durée le concept d'assurance décès devient pour le moins intéressant, ca permet de ne pas laisser trop de dettes aux petits enfants).

Pour l'instant l'inflation...

Merci doppelganger et pangloss pour vos explications tres claires

merci aux uns et aux autres pour leurs contributions.
je trouve, interessante, l'idee d'analyser l'effet du taux d'interet et de la duree de l'emprunt sur a la fois la capacite d'emprunt et le cout de ce dit emprunt.


ceci dit, est cela n'est une revelation pour personne, l'augmentation de la capacite d'emprunt, par allongement de ce dernier, va a l'encontre de la reduction de son cout.

ce que je pense interessant pour completer ce qui a ete fait jusqu'a la, c'est de definir une espese de fonction de cout qui resume la problematique de compromis que doit resoudre un emprunteur (compromis entre cout de l'emprunt et capacite d'emprunt).
et l'objectif serait de resoudre le probleme d'optimisation de cette fonction de cout en fonction des parametres taux d'interet et duree de l'emprunt et en prenant comme contrainte, au probleme d'optimisation, la capacite de remboursement mensuel (maximum) de l'emprunteur.


l'objectif ultime est que chaque emprunteur puisse definir la duree d'emprunt optimum par rapport a ses propres contraintes.

et je pense que dans une telle entreprise il faudrait integrer l'effet de l'inflation parceque cette derniere influence le cout reel de l'emprunt subit par l'emprunteur .


bon le plus complique dans toute cette histoire c'est la definition de la fameuse "fonction de cout": elle devrait integrer a la fois la richesse de l'emprunteur, a l'issu du remboursement de l'emprunt, et son pouvoir d'achat pendant le remboursement de l'emprunt .... mais je ne sais pas comment formuler ca ...
bon voila c'etait mon ptit delire du mardi matin ... si quelqu'un a une idee qu'il n'hesite surtout pas a l'exposer

Moi j'ai résolu le problème d'une façon très simple. Je n'achète pas et comme cela je ne suis sur de ne pas me faire enfler...

On verra en temps utile (courbe de Friggit et taux d'intérêt pratiqués à ce moment)...

Rien à battre même si la location est plus cher que l'achat...
Ce qui est vrai à un moment t peut être faux à un moment t+1...

Tout à fait exact. J'ai contrôlé hier soir.

Je publierai les bons graphes pour la beauté du geste mais comme tu l'annonçais:
- cela induit une imprécision (de 10 / 970 d'après mes essais)
- les courbes, mis à part le changement d'échelle en ordonnée, sont identiques à 99% (le reste c'est le % d'erreur).

Comme quoi, la fonction doit admettre en approximation linéaire la formule que j'avais donné.

Mais autant ne pas faire d'approximation on est d'accord.

Et puis au passage, on retombe sur les chiffres donnés par le simulateur d'asi77, ce qui n'était pas le cas avant (et moi ça me gênait)

Edit:

et bien entendu je remplacerai l'équation de calcul de la mensualité ça va de soit.

Tu vas tomber sur une équation différentielle non linéaire...

Pas bon, ça, pas bon du tout...

De rien.

D'ailleurs, on se rends compte que, en reprenant mon exemple
(100 000 euros, 6%), si on rembourse 500 euros par mois, on ne rembourse que les intérêts.

On pourrait imaginer très bien (je crois que ça se fait aux US pour des prêts très spéciaux) qu'on ne rembourse que 400 euros par mois.

Dans ce cas, le premier mois, on doit 500 euros d'intérêts, - 400 euros => le capital dû augmente (reste 100 100 euros là rembourser).

En fait, il ne faut pas tellement se focaliser sur le taux, mais sur le pourcentage de la mensualité consacrée au remboursement, car c'est celà qui conditionne la rapidité du remboursement du prêt. Sur des prêts à 50 ans, une infime partie de la mensualité sert à rembourser le capital.

Bonne nuit

-- Olivier

Revu avec les chiffres des mensualités au lieu des annuités.

=B20/(1-(1+B20)^-B19)

j'ai écrit ça , j'ai fait une erreur ?

mon résultat est différent

grat, grat.

A quoi correspondent les cases B20 et B19 ?

Les chiffres ont été confirmés, après rectification, par tout le monde - même cracouc. En faisant quelques essais on retombe exactement sur les chiffres des simulateurs en ligne (moyennant une assurance à 0%). Pour avoir un résultat différent, il suffit de ne pas appliquer la formule de mensualité (celle avec les division par 12). La table est obtenue en appliquant la formule de mensualité pour chaque case.

J'ai encore les tables excel.

Bon voilà ce qu'on va faire. Je demande à DBabar d'héberger le fichier qui est l'exacte réplique du travail publié ici. Ainsi le source de travail sera à la disposition de tous à partir de cette file et vous pourrez même le modifier pour faire d'autres essais, comparatifs, etc.

Il faut que je m'occupe du deuxième volet consacré à l'amortissement de capital depuis le temps...

...

Sauf si on entre en déflation.

Ce qui peut arriver sur de breves périodes de l'histoire... ce qui ne réconforte personne si cette breve période coincide avec le remboursement d'un prêt.
En économie, le pire n'est jamais certain et vice versa

Cordialement,

Tibere

La demande est partie.

ce sont les cases où j'ai mis taux et année.
ça doit être mal écrit je débute avec tableur.

=0,04/(1-(1+0,04)^-10)

0,123290944330136 ( le premier tableau dit 0,0101.......)

je comprends pas ou est mon erreur car j'ai fait un test avec une puissance négative et c'était bon .

Le fichier excel est disponible en téléchargement ici:
http://www.bulle-immobiliere.org/contri ... ensuel.xls

Vous avez appliqué la formule de calcul d'annuité. Heu ça ne correspond pas non plus à l'annuité obtenue à partir du calcul de mensualité (vous suivez là?)

Le bon calcul de mensualité est celui-là:

(0,04/12) / ( 1 - (1+ (0,04 / 12) )^ (-10 * 12) )

oui j'ai confondu pour le tableau.

mais
0,123290944330136

n'est pas l'annuité avec 4% et 10 ans? j'ai vérifié 2 fois !

Oui le calcul de l'annuité est bon mais en partant de la première formule donnée. Or cette formule n'est pas celle qui calcule le montant de l'annuité pour un prêt immobilier.

Sinon, je ne sais pas si vous avez vu mais j'ai publié le lien sur le fichier complet. Merci à DBabar pour le coup de main.