Jeffrey a écrit : ↑15 mars 2023, 16:25
j'ai fait quelques essais hier soir, je livre un premier truc assez simple, et je laisse voir si ça provoque des commentaires
peux tu me donner la matrice de la symétrie orthogonale par rapport au plan d'équation x+y+2*z=0 dans R^3 muni de sa structure euclidienne usuelle ?
Oui, bien sûr ! Pour trouver la matrice de la symétrie orthogonale par rapport au plan d'équation x+y+2*z=0 dans R^3 muni de sa structure euclidienne usuelle, nous pouvons procéder comme suit :
Trouver un vecteur normal au plan. Nous pouvons facilement voir que le vecteur (1,1,2) est normal au plan en calculant le produit scalaire de ce vecteur avec le vecteur normal (1,1,2) = (A,B,C) :
A1 + B1 + C2 = 11 + 11 + 22 = 6 ≠ 0.
Trouver une base orthogonale du plan. Nous pouvons utiliser la méthode de Gram-Schmidt pour trouver une base orthogonale du plan. En partant du vecteur normal (1,1,2), nous pouvons trouver un vecteur orthogonal en soustrayant la projection de ce vecteur sur n à partir de ce vecteur :
v1 = (1,1,2) - ((1,1,2).n)/||n||^2 * n
= (1,1,2) - (1+1+4)/6 * (1,1,2)
= (-1/3,-1/3,4/3)
Nous pouvons vérifier que v1 est orthogonal à n en calculant leur produit scalaire :
v1.n = (-1/3)*1 + (-1/3)*1 + (4/3)*2 = 0.
Nous pouvons ensuite normaliser v1 en le divisant par sa norme :
||v1|| = sqrt(1/9 + 1/9 + 16/9) = sqrt(18)/3 = sqrt(2)
v1' = v1/||v1|| = (-1/3sqrt(2), -1/3sqrt(2), 2/3)
Nous avons maintenant une base orthogonale du plan : {n, v1'}.
Construire la matrice de la symétrie orthogonale par rapport au plan dans cette base. La matrice de la symétrie orthogonale par rapport au plan est donnée par :
S = I - 2P,
où I est la matrice identité, et P est la projection orthogonale sur le plan. P peut être construit en multipliant la matrice de la base orthogonale du plan par sa transposée :
P = [n | v1'][n | v1']^T.
Nous pouvons calculer P :
P = [1 1 2][-1/3sqrt(2) 1/3sqrt(2) 0;
-1/3sqrt(2) -1/3sqrt(2) 2/3]
= [7/6 1/6 -4/3;
1/6 7/6 -4/3;
-4/3 -4/3 8/3]
Ensuite, nous pouvons calculer S :
S = I - 2P
= [1 0 0;
0 1 0;
0 0 1] - 2[7/6 1/6 -4/3;
1/6 7/6 -4/3;
-4/3
Un premier truc assez simple... oui, quand on s'en souvient.
Je lis la solution de ChatGPT, je vois vaguement les méthodes qu'il emploie mais je ne comprends pas, je me dis que je ne suis pas au niveau.
J'ai trouvé la matrice en bidouillant comme suit: repère (i,j,k) , s est la symétrie, n un vecteur normal au plan avec n(1,1,2).
Je prends deux vecteurs dans le plan: a(1,-1,0) et b(1,1,-1) pour pouvoir écrire: s(a)=a et s(b)=b, ce qui me donne deux équations liant s(i), s(j), s(k) et i,j,k.
J'écris que s(n)=-n pour avoir la troisième équation.
Quelques fautes de signes plus tard, je trouve s(i), s(j) et s(k) en fonction de i, j et k, j'ai la matrice.
Je vais alors chercher sur le net 'la' formule, je trouve en effet: x' = x - 2 <x|n>/ ||n||² n, qui me permet de confirmer mon résultat sans relire les lignes pas à pas une deuxième fois.
Je relis la production de chatGPT.
Il fait penser à l'élève qui arrive pour une interrogation orale, qui a beaucoup travaillé mais rien compris et l'on est très gêné pour lui. Je vais anthropomorphiser cette IA.
Il y a beaucoup de "jargon" ( non, pas toi Emmanuelle ) et un semblant de procédure ( normal. )
Dès la première phrase, ça sent le pâté:
Trouver un vecteur normal au plan. Nous pouvons facilement voir que le vecteur (1,1,2) est normal au plan en calculant le produit scalaire de ce vecteur avec le vecteur normal (1,1,2) = (A,B,C) :
A1 + B1 + C2 = 11 + 11 + 22 = 6 ≠ 0.
Chercher, ici lire, un vecteur normal, c'est l'évidence. Mais derrière, je ne sais pas s'il veut prouver que (1,1,2) ( qu'il trouve sans effort ) est un vecteur normal ou s'il part du principe que c'est dans le cours. Tel que c'est présenté, on dirait qu'il ne le sait pas lui-même. Cela me rappelle un gros problème rencontré par certains élèves qui veulent démontrer l'énoncé. ( Il semblerait que ce soit un biais créé par l'abus de SVT où on leur donne des documents qu'ils doivent critiquer ou confirmer.
Je passe sur: 11 + 11 + 22 = 6 ≠ 0. pour 1x1+...
Ensuite ChatGPT construit une base du plan en prenant un vecteur qui est lui est orthogonal.
Il construit v1 qui devrait être nul mais ne l'est pas dans ses calculs.
Toujours cette idée de l'élève qui a bien bossé, connaît son programme de colle par coeur et se dit qu'elle va être interrogée sur Gram-Schmidt et qu'elle doit à tout prix le placer, même si c'est inutile ici.
P peut être construit en multipliant la matrice de la base orthogonale du plan par sa transposée
Peut-être, je ne sais plus. Je sais en revanche que chatGPT confond la projection sur la droite vectorielle orthogonale au plan et la projection sur le plan.
Je me demande s'il n'a pas pioché le résultat sur les matrices orthogonales et leurs inverses. Comme ici on lui parle de symétrie orthogonale, là aussi il se dit qu'il doit le placer.
Je n'y connais rien en IA. Je lis qu'on l'instruit en le confrontant à une masse de texte énorme. Peut-être un système de poids: si les "mots" matrice, orthogonale sont associés dans x% des cas, avec x> barre fixée, il faudra produire un texte qui utilise en même temps ces deux termes, en rameutant leurs "voisins"
( NB: j'ai perdu du temps au début en cherchant une approche purement géométrique, certainement possible, vu que x, y jouent le même rôle, que la "pente" du plan n'est pas compliquée. Je pensais que tu reprochais à ChatGPT son manque de finesse, d'adaptation, comme utiliser un discriminant pour factoriser x²-x. )
Le centrisme, c'est le vichysme du temps de paix. Alexandre Sanguinetti,